Seqüências

Questão. Dada uma seqüência:{1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, 29, ...}. Calcule o 5000º termo.
Solução:
a2-a1=2-1=1
a3-a2=4-2=2
a4-a3=7-4=3
a5-a4=11-7=4
a6-a5=16-11=5
.
.
.
a5000-a4999=4999
Somando termo atermo, temos
a5000-a1=[ (1+4999).4999]:2=12497500
a5000=a1+12497500=1+12497500=12497501
como queria demonstrar

Ser-se moderno é gostar de Matemática

Ser-se moderno é gostar de Matemática

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Questão. 60. A figura abaixo indica ruas em linha reta conectando cinco pontos (A, B, C, D , E) de uma cidade plana. As setas indicam o sentido da circulação do transito para automóveis.
Um táxi que vai de E até B, passando por A e por D, percorrerá a distância aproximada de:
Solução:
AD=5km
AB=9km
BC=8km
A^DE=E^BC=alfa
Dois triângulos são semelhantes.: 5:9 =AE:AC =DE:8
DE=40:9 =4,444 km=4 km e 444 m
de E até B = EA+AD+DE+EB=9+5+4+0,444=18km e 444 metros (aproximadamente).
Resposta. (A).(x)

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Questão. 62. Um recipiente cilíndrico reto, com raio da base medindo 6 cm, contem água até metade de sua altura. Uma esfera maciça colocada no seu interior, fica totalmente submersa, elevando a altura da água de 1 cm. O raio da esfera mede, em centímetros,
Solução:
Volume do cilindro=PI.R^2.h =pi.6^2.l=36(pi) cm^3.
Volume da esfera=4/3(pi).R^3.
4/3(pi)r^3=36(pi)
r^3=36.3/4=27
r^3=27
r=3 cm
Resposta. B(x) 3.

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Questão. 61. Um pequeno cálice tem a forma de cone circular reto, com diâmetro do bocal medindo 4 cm e altura 6 cm, de acordo com a figura abaixo.
Sabendo que um líquido ocupa 50% da capacidade do cálice, é correto dizer que a altura h do cone formado pelo líquido, em centímetros, é:
Solução:
V/(1/2)V= 2V/V =[6/h]^3 .:
2 = 216/h^3.: h^3=108=3^3.2^2.=27.4
h=(27.4)^(1/3)=
h= 3.(4)^(1/3)
Resposta. (C)(x) três raiz cúbica de quatro.

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Questão. 37. A matriz M contém as coordenadas dos vértices do triângulo indicado no gráfico ao seu lado. Sendo N=[ 0 -1]
1 0 , o produto N.M equivale graficamente a:
Solução:
N.M= ( 0 -1) .[ -7 -4 -4] = | -4 -8 -2|
. 1 0 . 4 8 2 -7 -4 -4
Resposta. (B) rotacionar o triângulo 90º anti-horário, com centro de rotação em (0, 0).(x)

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Questão. 31. Um provedor de acesso à internet cobrava de seus cliêntes R$ 80,00 por mês para acesso discado sem qualquer controle das horas utilizadas. Querendo, limitar o tempo de conexão dos clientes, ofereceu um plano, no qual, por R$ 60,00, o cliente usaria os serviços por no máximo 70 horas mensais e pagaria R$ 2,00 por hora excedennte.
No mês seguinte, ao receber sua conta de consumo, um cliente que havia optado por esse plano verificou qe o valor de sua conta ficou 60% maior em relação ao valor que pagaria se plano anterior. O número de horas, em que esse cliente esteve conectado foi:
1,60 x80,00=128,00
128,00-60,00=68,00
68,00:2,00= 34 horas + 70 horas =104 horas
Resposta. (D)(x) 104

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Questão. 75. Na ilustração abaixo, a circunferência maior está inscrita em ummquadrado. A circunferência menor circunscreve um quadrado, é tangente a maior e contém seu centro:
Solução:
Lado do quadrado maior L=2R
Lado do quadrado menor L'=RV2/2( RaioR vezes a raiz quadrada de dois dividido por 2)
A razão entre os lados= 2R/RV2:2 = 2V2(duas vezes a raiz quadrada de dois).
Resposta. A(x) 2V2

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Questão. 71. Duas amostras com o mesmo número de pilhas elétricas de mesmo tipo foram testadas. Calculcou-se a média de duração das pilhas e como se distribuía essa duração. Todos os intervalos de tempo forma medidos em minutos. Os resultados foram os seguintes:
Fabricante A: duração média:260; intervalo dos 70% da população mais próximos da média[210;310].
Fabricante B: duranção média:250, intervalo de duranção dos 70% da população mais próximos da média:[230;270].
Com base nesses dados forma feitas as seguintes afirmações:
I. 70% das pilhas do fabricante B duram 230 minutos ou mais. VERDADEIRA.
II. A média de duração das pilhas das duas amostras é de 255 minutos. MA=(260+250)/2=255 minutos. VERDADEIRA.
III. claramente o produto do fabircante A tem maior duração, o que jistifica custar cerca de 20% mais que o concorrente. ISTO NÃO É VERDADEIRA, PORQUE O DESVIO PADRÃO DO FÁBRICANTE A É 100 E DO FÁBRICANTE B É 40 QUE O DO B DÁ MAIS CONFIABILIDADE DO QUE PRODUTO DE QUE A.
Resposta. (D)(x) I e II.

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Questão. 69. Se a média de gols por partida em um torneio de futebol é 1,625, o menor número possível de partida é igual a:
Solução:
número de gols/ número de jogos = média de gols.
númro de gols/número de jogos=1,626 --> número de jogos = número de gols/1,625
Sabemos que o número de jogos(partidas) e número gols são um número inteiro, logo.
1,625 x10= não é inteiro
1,625x8= 13
1,625x6= não é inteiro
1,625x5=não é inteiro
1,625x4= não é inteiro.
Portanto, oito partidas(jogos) e 13 gols.
Resposta. B(x) 8

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Questão.68. Os números marcados nas faces do dado A são 1,2,3,3,3 e 6, e os números marcados nas faces do dado B são 1,2,3,4,4,4.Em um lançamento simultâneo dos dois dados, se as seis faces de cada um são equiprováveis, a probabilidade de que s soma dos números obtidos, seja ímpar é igual a:
Solução:
Dado A={1,2,3,3,3,6}
Dado B={1,2,3, 4,4,4}
n(s)= número de soma dos números é=6 x 6= 36
ímpar mais par=ímpar
par mais ímpar = ímpar
n(soma ímpar)= 4 x 4 + 2x2= 16+4=20
P(soma ímpar)= n(s0ma ímpar)/ n(número da soma dos números)= 20/36=simplificando por 4, temos= 5/9
Resposta. B(x) 5/9

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Questão. 65. A altura h de um projétil em função do tempo t decorrido após o lançamento é dada pela expressão h(t)=-t^2+200t, sendo t medido em segundos e h em metros. A altura máxima por esse projétil é:
Solução.
h(t)= - t^2 + 200t
h'(t)= -2t + 200
h'(t)=0 .: -2t+200=0 --> t=200/2 .: t= 100 segundos.
h(100)=-(100)^2+ 200.(100)= -10000 + 20000=10000 metros.

Resposta. A(x) 10 000m

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Questão. 57. Em um cubo, considere o triângulo retângulo pela diagonal do cubo AG, pela aresta AE e pela diagonal da face GE. Sobre o ângulo ABR é correto afirmar que:
Solução:
O diagonal AG=V3L
Aresta=L(cateto oposto do ângulo G.
Diagonal da face(base)= V2L.
Seno do ângulo G = (L)/ V3 L
V3 L leia: Raiz quadrada de três vezes a aresta L.
Então Seno do ângulo G= V3/3 => Raiz quadrada de três sobre três.
Resposta. (E)(x)

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Questão. 55. Tomando como base as informações indicadas nas três figuras abaixo, é correto afirmar que a área sobreada na figura da direita, em cm^2, é:
Solução:
x^2=6^2+6^2 -2.6.6.cos (alfa)=72-72cos (alfa)
y^2= 6^2 + 6^2 - 2.6.6 cos(2.alfa)= 72-72cos (2.alfa)
Área= y^2-x^2=72-72cos(2.alfa) - 72+72c0s(alfa)=-72[cos(2.alfa)-cos(alfa)]=
Se cos (2.alfa)=2.cos^2(alfa)-1
Substituindo na equação anterior temos:
Aárea= -72[2.cos^2(alfa)-cos(alfa)= -72[2.cos^2(alfa)-cos(alfa)-1]
Resposta: (A)(x)

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Questão. 39. Em certo país, as placas de automóvel exibem em código formado por duas letras escolhidas em um alfabeto de vinte e seis letras, seguidos por um número de seis algarismos. Nesse código, nenhum símbolo pode ser repetido. As autoridades policiais do país procuram um automóvel cujo código começa com a letra J e os algarismos formam um número par com um algarismo cinco na posição das centenas de milhar. O número de códigos de placas que atende essas características é:
Solução:
Duas letras e números de seis algarismos.
J - 5 - - - - -(par)
1.25.1.---5
1.25.1.8.7.6.5=210 000
Resposta: (E) 210 000(x).

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Questão. 36. Na equação x^3+3x^2+x-1=0, substituindo-se x por x-1 obtém-se uma equação em z sem o termo quadrático, o que facilita sua resolução.A partir disso, podem-se obter também as soluções da equação original, uma das quais é:
Solução:
x^3+3x^2+x-1=0
x=z-1.: (z-1)^3 + 3(z-1)^2 + z-1-1=0 ---> z^3-2z=0
z(z^2-2)=0
z=0
e
z=+-raiz quadrada de 2 =+- V2
Se x=z-1 então x= V2 - 1 (x é igual a raiz quadrada de dois menos um)
Resposta: (C)(x)

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Questão.33. Em certa fábrica de camisas, o custo em reais da produção de um lote de n unidades é dado por C(n)=14n+8000 e o preço em reais da venda de cada unidade é fixado de acordo com o total produzido pela fórmula P(n)=- n:100 + 56.
Considere as três afirmações seguintes, que devem ser conseqüência das informações apresentadas sobre a fábrica.
Solução:
I. Pela venda de um lote completo, a fábrica recebe em Reais: R(n)=[- n:100 + 56 ].n=- n^2:100+ 56.n.
II. O lucro em reais completo: L(n)=- n^2:100 +56n -[14n+8000]= -n^2:100 +42n-8000.
III. n=200 unidade, o Lucro: L(200)= - 200^2:100 +42(200)-8000= -400+8400-8000=0
Resposta: (A) I, II e III.

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Questão. 54. Qualquer que seja o número real x, a expressão senx^4- cosx^4 é equivalente a:
Solução:
Sen x^4-Cos x ^4 = (Sen x ^2+ cos x ^2)(senx ^2-cosx ^2)= (1).[1-cosx^2-cos x ^2]= -2cosx^2 + 1
Resposta:
(E) -2cos x ^2 +1 (x)

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Questão.52. O valor da expressão log8log25log243 a base 3 é um número x tal que:
Solução:
log8 log25 log3 243=log8 log 25 5=log 8 1:2=- 1:3
Resposta: (B) -2:5 < x < 1:5 (x)
-0,4 < -0,333...< 0,2

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Questão. 51. O gráfico indicado na figura representada a função R -->R, definida por
f(x)=-x^2-2x+8 para x<1>1
Solução:
f(x) =- x^2-2x + 8, para x<1(é uma parábola voltada para baixo)
fazendo f(x)=0 e resolvendo a equação temos S={-4, 2} se x<1 logo x=-4.
Fazendo f(x)=0 e resolvendo a equação do primeiro grau, temos S={5}, se x>1 logo x =5( é uma reta com a inclinação maior que noventa graus, função decrescente).
Resolvendo o gráfico: o gráfico passa no eixo dos x no ponto x=-4 e no ponto x=5.
Resposta: D(-4, 5) (x)

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Questão. 34. Em um experimento científico serão misturados x litros do líquido A e y litros do líquido B. Para essa mistura, estão disponíveis 1,5 litro do líquido A e menos do que 2,5 litros do líquido B. Uma região no plano cartesiano que certamente contém todas as possibilidades de pares coordenados (x, y) é:
Solução:
x=1,5 litros do líquido A.
y<2,5 litros do líquido B.
No plano cartesiano será de forma retangular cujo base superior que será representada por pontos pontilhados na altura de 2,5 e na lateral para presentar a altura uma semi-reta perpendicular ao eixo dos x.
Resposta. (A)(x)
Conteúdomatemático: programação linear.

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Questão. 79. Nesta questão, a, b repressentam números reais, sendo a diferente de zero e n representa um número natural, f, g e h são funções de variável real. Consdiere as afirmações:
I. se f(x)=ax+b, a seqüência f(1), f(2), f(3),...,f(n) é um PA de razão a.
II.Se g(x)=a.b^x, com b>0 e b diferente de 1, a seqüência f(1), f(2), f(3)...f(n) é uma PG de razão b.
III. Se h(x)=ax^2+bx, a seqüência f(2)-f(1), f(3)-f(2), f(4)-f(3),...,f(n)-f(n-1) é uma PG de razão 2b.
Está correto o que se afirma APENAS em:
I.f(x)=x+5 (6, 7, 8, 9,...) é uma PA. Razão=1
II.g(x)=5^x (5, 25, 125, ...) é uma PG.Razão = 5
III, h(x)= x^2+5x (6, 14, 24, 36,...) não é uma PG.(razões variáveis).
Respoosta. B(x). I e II.

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Questão. 78. Abaixo está esboçado o gráfico de uma função real. Das espressões abaixo, a única que pode corresponder à função representada no gráfico é:
Solução:
Como limite f(x) quando x tende pela esquerda de 2 é mais infinito e pela direta é menos infinito assim como, l limite de f(x) próximo a 2 pela esquerda é menos infinito e próximo a 2 pela direita é mais infinito então a função é: f(x)= 1: (x-2).(x-4) para x difeente de 2 e diferente de 4.
Resposta D(x).

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Questão. 76. Os comprimentos dos lados de um triângulo são x+1, 7-x e 4x-2. O número de valores de x para os quais o triângulo em questão é isósceles é:
Solução:
x+1, 7-x, 4x-2
x=0 1 7 -2
x=1 2 6 2(x)
x=2 3 5 6
x=3 4 4 10(x)
x=6 7 1 22
Pela desigualdade triangular não teremos respostas satisfatórias, tanto quando o x=1 e quanto para x=3.
Resposta. Nenhuma das alternativas.

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Questão.59. A trissecção do segmento AB em partes iguais. Passando semi-retas do centro da circunferência aos pontos da divisão do segmento AB, fica dividido também o ângulo em três partes iguais. Pronto, com esse procedimento dividimos o ângulo em três ângulos iguais (AÊD, D^CE e E^CB). Os três ângulos são congruentes?
Solução:
Por hipótese que exista um ângulo ACB com AC=CB tal que o ângulo ACD, o ângulo DCE, o ângulo ECB congruentes. Considerando o triãnguloACE¨, CD¨ é mediana e bissetriz, logo é também a altura e o ângulo (considerando) AD¨C¨ é de 90º, considerando CE¨ é mediana e bissetriz e também a altura logo é reto. Absurdo.
Resposta (C)(x) a trissecção do segmento AB em partes iguais, apesar de possível, não implica ângulos iguais ACD, DCE e EDB.

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Questão. 41. A ilustração abaixo ostra um quadrilátero ABCD inscrito em um retângulo que tem vértices opostos P e Q. Os segmentos de reta AP, PB, CQ e DQ são congruentes entre si e os lados do retângulo medem 4AP e 3AP.
Considerando o triângulo APB como unidade de medida de área, a área do quadrilátero ABCD é:
Solução:
Triângulo APB como unidade de medida de área=AP.AP:2=AP^2:2
Quadrilátero ABCD =[ Área do retângulo maior]-[2 x área do triânguloAPN +2 x (área do triângulo maior )=4AP.3AP -{[2.APxAP:2]+2. (3AP.2AP)= 12AP^2 -[AP^2 + 6AP^2]=
Quadrilátero ABCD= 24AP^2:2 - [2AP^2:2 + 12.AP^2:2]=24(AP^2:2)-(14AP^2:2]=10(AP^2:2)
Resposta(.D)10(x).

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Questão. 73. Embora existam estudantes brasileiros, com excelentes desempenho em competições matemáticas internacionais, nas avaliações internacionais que procuram retratar todo o alunado, como o PISA, nossos estudantes têm obtido inegavelmente ruins. Em um artigo publicado na Revista do Professor de Matemática RPM nº 62, a professora Renate Watanabe busca identificar as causas, desse mau desempenho ao analisar as questões de matemática do PISA, realizado em 2003. Ela observa que as questões propostaqs aos estudantes nesta prova.
Exigem pouco conteúdo, pouca memória, mas(...) examinam a capacidade dos alunos de analisar, raciocinar e refletir ativamente sobre seus conhecimentos e experiências, enfocando competências que serão relevantes para suas vidas futuras. Essas considerações sugerem que um caminho para melhorar o desempenho de nossos estudantes nas avaliações de matemática consistia em:
Solução:
a. trabalhar mais as idéias matemáticas;
b. Mais raciocínio e menos cálculo sem futuro;
c. trabalhar mais a autonomia do aluno;
d. trabalhar mais análise e síntese com os alunos.
Resposta. (D). (x) trabalhar frequentemente com questões que desenvolvam a capacidade de análise e peçam raciocínio autônomo.

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Questão.45. Integra a descrição do perfil desejável do professor de Matemática, o qual este concurso visa selecionar, o seguinte fragmento:
Saber escolher uma escala adequado em cada turma, em cada situação concreta para apresentar os conteúdos que considera relevantes(...)
a ESCALA citada nesse texto corresponde:
Solução:
a. O professor deve saber o conteúdo mais do que o aluno;
b. O professor deve saber adequar e apresentar o conteúdo mais relevante para cada turma;
c. O professor deve trazer com convicção de que o conhecimento matemático seja significativo para o aluno.
d. A primeira regra do ensino é saber o que deve ensinar. A segunda, é saber um pouco mais do que aquilo que se deve ensinar.
Resposta(D)(x)ao grau de aprofundamento e/ou detalhamento com que um tópico matemáticao é abordado.

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Questão.46. Alunos podem trazer idéias originais e soluções criativas para a aula de matemática. Esse fato parece ser favorecido:
Solução:
A matemática de hoje é assim:
a. Dar a voz para o aluno na sala de aula;
b. diálogo entre o professor e aluno;
c. participação do aluno na sala de aula ou fora dela;
d. Professor como mediador, como incentivador etc.
e. um novo olhar para o aluno, etc
Resposta. (C) pelo estabelecimento de um diálogo professor-aluno, no qual os alunos são encorajados a expor suas idéias.

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Questão.40. Com relação à figura abaixo, sabe-se que:
-A,B,C,D são pontos pertencentes à reta r;
-E,F,G são pontos pertencentes à reta s;
-r é paralela com s;
-EF=FG=2, AB=2, BC=2; CD=2.
-dos sete pontos, os únicos pares de pontos alinhados verticalmente são B com F e D com G;
-BF=DG=3
O total de triângulo distintos, com vértices dentre os sete pontos, que possuem área 3 é:
Solução.
Área do triângulo=3--> [(EFA, EFB, EFC, EFD, FGA, FGB, FGC, FGD,ABE, ABF, ABG, BCE, BCF, BCG, CDE, CDF, CDG]=17 triângulos com área 3 unidades ao quadrado.
Resposta. não consta ou seja nenhuma das alternativas.

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Questão.32. Considere o conjunto numérico constituído por números da forma p^q, com p pertencente ao conjunto dos inteiros positivos, e q pertencente ao conjunto dos números inteiros. Um número real que pertence a esse conjun to é:
Solução:
Se
p pertence ao conjunto dos inteiros positivos.
q pertence ao conjuntos dos números inteiros.
então
p^q = 1^[...-2,-1, 0, 1, 2, 3, ...] = 1
Resposta. (B). (x) 1.

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Questão.77. Em um de seus trabalhos, o matemático Leonardo Fibonacci (1175-1250) apresntou o seguinte padrão:
L1-> 1=1^3
L2->3+5= 2^3
L3 -> 7+9+ 11=3^3
l4-> 13+15+17+19=4^3
L5 -> 21+23+25+27+29=5^3
Preservando esse padrão, podemos afirmar que o menor número da soma que estará indicada na linha 100 é:
Solução:
L1 -> 0.1+1=1
L2 -> 1.2+1=3
L3 -> 2.3+1=7
L4 -> 3.4+1=13
L5 -> 4.5+1=21
L 100 -> 99.100+1= 9901
Resposta. (D)(x) 9901

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Questão. 74. Sendo n um número inteiro, uma expressão que sempre resultará em um número ímpar é:
Solução:
(A) 7n^2+1. Se n é número inteiro, podemos ter duas respostas: par ou ímpar. falso.
(B). 5n+1. Se n é um número inteiro, podemos ter duas respostas: par ou ímpar. Falso.
(C). 5n-1. Se n é número inteiro, podemos ter duas respostas: par ou ímpar. Falso.
(D). 6n^2 +1. Se n é um número inteiro, sempre resultará em um número ímpar. Verdadeiro.
(E). n^2+2n+3. Se n é um número inteiro, podemos ter duas respostas: par ou ímpar. Falso.
Resposta. (D)(x)

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Questão. 72. Com relação à resolução, é correto afirmar que:
(A) a resolução é correto afirmar que. A solução não está correta pq o X poderá ser o zero. Falsa.
(B). o erro cometido no passo 1 implicou na perda de uma das raízes da equação. É verdade, o X poderia ser Zero. (Verdadeiro).
(C). o passo 2 deveria ser x=4-18.Errado, o correto é multiplicar por 1/18. Falso.
(D). o passo 3 alterou o resultado do passo 4. Não houve alteração, passo errado foi no um.Falso
(E). não podermos fazer verificação. Claro que podemos, sempre devemos fazer a verificação. Falsa.
Resposta.(B)(x).

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Questão. 70. Existem exatamente 14 pessoas em uma sala de reunião. A probabilidade de que haja ao menos duas pessoas nessa sala que façam aniversário no mesmo mês do ano é:
Solução:
Se numa sala de reunião existem exatamente 14 pessoas, pelo menos duas pessoas nasceram no mesmo mês.
14 : 12 = 1.12+ 2, portanto a probabilidade P( 2 pessoas) = ao menos duas pessoas que façam aniversário no mesmo mês: 2 pessoas= 1, isto é, 100%
Resposta. A(X) 1=100%.
A solução é baseado no princípio da casa dos pombos.

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Questão. 48. A respeito da soma 1:2 -1:3 +1:4 - 1:9 + 1:8 - 1:27 +...+1:2^n - 1:3^n +... para n>1, é correto afirmar que seu resultado:
Solução
S1= 1:2 + 1:4 + 1:8 + ... = a1:1-q = [1:2 ] : 1-1:2 = 1
S2= 1:3 + 1:9 + 1: 27 +... = [1:3]: 1-(1:3)= 1:2 ( meio)
S total = S1 -S2 = 1 - (1:2)= um menos a metade= 1:2
Resposta. A(x) é igual a 1:2(x)

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Questão. 35. Considere o número X=0,121221222 de representação infinita, na qual o número de algarismos, dois, aumenta uma unidade cada vez que surge ao algarismo um. Com base apenas nas informações dadas, o número X é:
Solução:
(A) quociente de números primos. Nem sempre reproduz tipo do número X. Falsa.
(B). inexistente. Claro existe o número X. Falsa.
(C). imaginário não real. X é número real. Falsa.
(D). não racional. É verdade, o número X não é racional. X é número irracional. Verdadeiro.(x)
(E). dízima periódica. X não é dízima periódica, não há repetição. Falsa.
Resposta. (D)(x)

O romance da Matemática e da Arte

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