Eduardo e Cia.

S 2: x^3.(x+2) dx
Trata-se de uma função racional própria. Logo podemos escrever:
Reduzindo ao mesmo denominador e igualando os numeradores vem:
2 = A(x+2)+Bx(x+2)+Cx^2(x+2)+Dx^3
Atribuimos valores para x:
x=-2 D=-1:4
x=0 .: A=1
x=-1 .: -B+C=3:4
x=1 .: B+C= -1:4 , resolvendo o sistema de equações:
B=-1:2
C=1:4
Integrando: S 1:x^3 -1:2S1/x^2 +1:4S1:x -1:4S 1:X+2=
Resposta: -1/2x^2 + 1:2x + 1;4 ln|x| -1:4 ln|x+2| + C

Atividades Técnicas de Complexidade Intelectual Matemática

Questão 26. No estudo de Espaços Vetoriais, a aprendizagem é mais significativa quando os estudantes visualizam situações familiares, que podem ser rperesentadas por diagramas ou com material concreto. Trabalhar, por exemplo, com os espaços vetoriais R^2 e R^3 permite essa visualização.
Considere uma transformação linear T: R^3 em R^3, cujo núcleo tem dimensão 2. A partir desses dados, conclui-se que:
(A). T é injetora.[T é injetora se somente se Nucleo T={0}
(B) . T é sobrejetora.[ se e somente se Im T=V]
(C). a imagem de T é uma reta em R^3.[Verdadeira]
(D). a iamgem de T é um plano em R^3.[ se a imagem de T é uma reta em R^3].
(E). Existe apenas um vetor não nulo cuja imagem por T é o vetor nulo.[falsa]
Resposta. (C)(x)

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Questão 25. O conjunto V={(x,y,z,w)} pertence a R quatro tal que x+y=0, y+z=0, z+w=0, w+x=0} é um espaço vetorial de dimensão:
Solução:
Seja V subespaço de um espaço vetorial de R^4. Então dimensão V é menor ou igual a n.
Se V é uma reta passando pela origem então a dimensão de V = 1.
Resposta. B(x) 1.

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Questão 40. As Diretrizes Curriculares para o EM(parecer CEB nº15:98)estabelecem como objetivos da área de Ciências de Natureza, Matemática e suas Tecnologias a constituição de habilidades e competências que permitam ao educando:
I. compreender o caráter aleatório e não determinístico dos fenômenos naturais e sociais e utilizar instrumentos adequados para medidas, determinação de amostras e cálculo de probabilidades;
II. identificar, analisar e aplicar conhecimentos sobre valores de varáveis, representados em gráficos, diagramas ou expressões algébricas, realizando previsão de tendências, extrapolações e interpolações, e interpretações;
III. analisar qualitativamente dados quantitativos, representados gráfica ou algebricamente, relacionados a contextos socioeconômicos, científicos ou cotidianos;
IV.identificar, representar e utilizar o conhecimento geométrico para o aperfeiçoamento da leitura, da compreensão e da ação sobre a realidade;
V-entender a relação entre o desenvolvimento das ciências naturais e o desenvolvimento tecnológico, e associar as diferentes tecnologias aos problemas que se prouserem e se proõem a solucionar.
Cada uma dessas habilidades:competências pode ser desenvolvida mais diretamente por meio de um dos tópicos de Matemática do EM apresentados a seguir:
( )Trigonometria; ( )Funções; ( ) informática; ( )Análise combinatória; ( ) Tratamento da informação.
Resposta. C(X) IV - II - V - I - III

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Questão 38. As Tecnologias da Informação e Comunicação (TIC) estão cada vez mais presentes nas aulas de Matemática. Em particular, o ensino de Geometria pode ser enriquecido com software de Geometria Dinâmica, possibilitando a construção de figuras plans e espaciais e permitindo abordagens que não são smimples no modelo de ensino com lápis e papel. A vantagem específica que se destaca no uso de softwares de Geometria Dinâmicaq no ensino de Matemática é a possibilidade de:
(A) muito mais do que resolver problemas, alternativa falsa.
(B). muito mais do que dedizuir fórmulas, alternativa falsa.
(C). muito mais do que demonstrar teoremas, alternativa falsa.
(D). muito além do que visualizar o plano cartesiano, alternativa falsa.
(E). muito além da arte de argumentar mais sim, de verificar conjeturas. Alternativa Verdadeira.
Resposta. E(x)

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Questão.37. Para o desenvolvimento de habilidades de visualização espacial durante um curso de Geometria, podem ser usado material concreto e mongagem e desmontagem de sólidos geométricos, como no exemplo a seguir.
Considere um cubo maciço de 12cm de aresta. Os cantos desse cubo são cortados por planos que interceptam as suas arestas em pontos de distam acm dos vértices, sendo 0Sobre o sólido que resta, é correto afirmar que:
Solução:
Um cubo de 12 cm de aresta, logo os cantos poderão ser cortados por planos que interceptam as suas arestas um pontos que distam dos vértices, sendo 0(C). se a=6 teremos apenas um plano de forma quadrada, logo a alternativa é falsa.
(D). se a=4 teremos 8 faces triangulares e 6 faces octogonais, logo a alternativa é falsa.
(E). se a=3 teremos 8 faces triângulares e 6 faces octogonais, logo a alternativa é verdadeira.
Resposta. (E)(x)

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Questão.36. Os quatro círculos menores da figura acima são tangentes ao círculo maior e cada um deles é tangente a dois dos outros círculos menores. Qual é a razão entre o raio do círculo maior e o raio de cada um dos círculos menores?
Solução:
Os quatro círculos menores formam, com o raio r, um quadrado de lado 2r, cujo diagonal mede r raiz quadrada de 2. Portanto a razão entre o raio do círculo maior e o raio de cada um dos círculos menores:
razão=(r+rV2)/ r= r(1+V2)/r = 1+V2 ( um mais raiz quadrada de dois.
Resposta. C(x) 1+V2

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Questão.34. Considere um trapézio retângulo de bases B e b, e altura h. Seja x a distância entre o ponto de encontro das diagonais do trapézio e o lado perpendicular às bases. Nessas condições, o valor de x é dado por:
Solução:
Chamamos de x a distância entre o ponto de encontro das diagonais do trapézio e o lado perpendicular às bases b e B.
Chamamos de y a distância entre o ponto de encontro das diagonais do trapézio e o lado não perpendicular às bases b e B.
Da base b a distância entre o ponto de encontro das diagonais do trapézio nós chamaremos de h1.
Da base B a distância entre o ponto de encontro das diagonais do trapézio nos chamremos de h2. isto é h1+h2= h
Por semelhança de triângulos temos: x/b = h2/h1+h2, x/B = h1/h1+h2 e y/B=h2/h1+h2,
analisando as proporções e notamos que x/b=y/B-> x/b+ y/B= 1
Fazendo x=y na última igualdade encontramos que x=(B.b)/B+b.
Resposta. D(x) B.b/B+b

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Questão. 35. Em um cubo de aresta a, a distância entre um vértice e o centro da face oposta é igual a: Solução:
A metade da diagonal da face é:d^2=2a^2.: d=aV2:2
A distância de um vértice e o centro da face oposta é:
D^2=(aV2:2)^2 + a^2=(4a^2 + 2a^2):4 .: D^2=6a^2:4
D=aV6:2 ( aresta a) vezes raiz quadrada de seis dividido por 2.
Resposta. A(x) aV6:2

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Questão. 28. Uma empresa considera fazer um investimento que tem probabilidade igual a 0,2 de produzir um lucro de R$ 20 000,00 e probabilidade igual a 0,5 de produzir um lucro de R$ 8 000,00; caso contrário, o investimento trará um prejuízo de R$ 15 000,00. O valor esperado do retorno do investimento, em reais, é:
Solução:
E(X)=(20000,00)(0,2)+(8000,00).(0,5)-(15000,00).(0,3)
E(X)= 4000,00 + 4000,00 - 4500,00= 3500,00
Resposta: A(x)3500,00[O valor esperado do retorno de investimento, em reais.
A(x)

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Questão.27. Um torneio vai ser disputado por quatro tenhistas A, B, C e D. Inicialmente, um sorteio dividirá os tenistas em dois pares, que se enfrentarão na primeira rodada do torneio. A probabilidade de que A e B se enfrentem na primeira rodada é:
Solução:
{(A, B); ( A, C); ( A, D)}

P(A,B)= 1:3

Resposta: B(x)1/3

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Questão.24. Os vetores u e v do R^n são tais que ||u||=2e u.v=12. Para que o vetor (alfa)u+v seja ortogonal a u, deve-se ter (alfa) igual a:
Solução:
Sabemos que ||u||=2, logo u=2.
pela questão u.v=12 portanto v=6.
pela ortogonalidade (alfa).u+v=0
Se (alfa).2 + 6 = 0, então (alfa)= -3.
Resposta. B(x) -3

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Questão.23. Um fabricante de sabão em pó deseja usar embalagens em forma de bloco retangular com o menor gasto possível de material, de modo que:
-uma das dimensões da base seja triplo da outra,
-o volume seja de 2304 cm^3.
Nessas condições, a altura da caixa de sabão em pó, em cm, deve medir:
Solução: Sejam as dimensões da base: uma dela x e a outra 3x ,
A altura seja y.Então o volume seja da condição do problema: V=3x.x.y=2304 cm^3.
V=3x^2.y=2304 -> y=(2304):3x^2 --> y=768:x^2.
A área total da embalagem de sabão em pó: Área total=2xy+6x^2+6xy=6x^2+8xy
Substituindo o valor de y=768:x^2 na área total, temos: A=6x^2 + 8x(768:x^2)=6x^2 + 6144:x
Derivando temos, A*=(12x^3-6144):x^2
fazendo A*=0
x=8 cm
y=(768):x^2= 12 cm.
Resposta.B(x) 12 cm (x).

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Conhecimentos específicos
Questão. 18. Com os conteúdos de Geometria trabalhados até o Ensino Médio não é possível calcular áreas de regiões limitadas por curvas quaisquer. Para calcular áreas desse tipo é preciso utilizar a noção de integral definida, estudada nas disciplinas de cálculo. Um exemplo é o cálculo da área do plano limitada pelos gráficos definidos por y=x^2e x=y^2. Qual é o valor dessa área?
Solução:
Para maior facilidade temos: x^2=x^1:2, elevando ao quadrado temos x^4 = x, resolvendo a equação temos como resultado x=0 e x=1. Então a área limitada é de 0 a 1.
A inegral de x^2= x^3:3, substituindo por 0 e 1, temos A=1:3
A integral de x^1:2=( 2:3 ). x^3:2, substituindo o x por 0 e 1 temos, A=2:3
A diferença de área é: A=(2:3) - (1:3) = 1:3
Resposta. E(x) 1:3 ( um terço).

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Conhecimentos específicos
Questão.20. O valor do limite de (36x^2+24x):5x^2+2x) quando x tende para zero é:
Solução:
Colocando em evidência a variável x no numerador e no denominador vamos encontrar:
x(36x+24): x(5x+ 2), simplificação de fração teremos (36x+24):(5x+2). Aplicando o limite temos24:2= 12, quando x tende a zero.
Resposta. O valor do limite é 12. E(x) 12.

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Conhecimentos específicos
Questão. 17. As figura abaixo representa o gráfico da derivada de uma função f no intervalo [1, 5].
O menor e o maior valor de f no intervalo [1, 5] são, respectivamente:
Solução:
[1, 2] função decrescente Y=-x-->F(1)=-1; F(2)=-2.
[2, 5] função qudrática: Y= (x^2):2 -3X.-->F(2)=-4; F(3)= -4,5; F(4)=-4 e F(5)= -2,5.

Resposta. O menor f(3) e o maior f(1), logo (C)f(3) e f(1).

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Conhecimentos específicos
Questão 16. Observe o gráfico da função f(x), definida em R.
Sobre a função f(x), conclui-se que:
Solução:
(A) f(x) não possui assíntotas verticais em x+2 e x=-2, porque o limite da f(x), quando x tende ao (+ ou -)infinito é mais infinito ou menos infinito.(F)
(B) f(x) possui derivada em x=0, a função derivada de f(x) é uma função quadrática.(F)
(C) f(x) tem imagem real para todo x real.(F)
(D) f'(x) e não negativo para todo x real, porque f'(x) é uma função quadrática.(V)
(E) f''(x) tem imagem real para todo x real.(F)
Resposta. (D) (x)