Doug - O Problema de Matematica - Portugues Brasil part 2

Máximo Divisor Comum

O máximo divisor comum de dois inteiros a e b (a ou b diferente de zero), denotado por (a, b), ´e o maior inteiro que divide a e b.
Teorema: seja d o máximo divisor comum de a e b, então existem inteiros r e s tais que d=ra+sb.

Pequeno Teorema de Fermat-PTF

Teorema: Se p é um primo e a é um inteiro, então p|a^p-a(p divide a elevado a p menos a). Quero dizer que é muito comum enunciado na seguinte forma: se p é um primo e a é um inteiro não divisível por p, então p| a^(p-1)-1. O fato de que essas duas asserções são equivalentes.

Divisibilidade por 7

Seja um número inteiro N=mcdu= 10(mcd)+u=
={{7+3)(mcd)+(7-6)u=[7mcd+7u]+3mcd-6u=3[mcd-2u]
Veja que N=10(mcd)+u--> vamos chamá-lo de 10k+i e
N=3[mcd-2u]=k-2i
Demonstração:
10k+i é múltiplo de 7 e k-2i é múltiplo de 7.
Se 10k+i é múltiplo de 7, então existe um inteiro m tal que 10k+i=7m e portanto, k-2i=2(7m-10k)=7(3k-2m) o que implica k-2i ser múltiplo de 7.
Se k-2i é múltiplo de 7, então existe um inteiro n, tal que k-2i=7n o que implica 10k+i=10[7n+2i]+i=7(10n+3i] o que implica 10k+i ser múltiplo de 7.
Como queria demonstrar.
Keiji

Divisibilidade por 7

Seja um número inteiro N=mcdu.
Em decomposição: N= mc+10d+u=mc+(7+3)d+(7-6)u=mc+7d+7u+3d-6u=
N=[mc+7d+7u]+3(d-2u)
Exemplo: N=59325
Separamos o dígito 5 das unidades e do número restante 5932, subtraímos o dobro deste dígito, isto é:
5932 - 2.5= 5922
592 - 2.2= 588
58 - 2.8= 42
Como 42 é divisível por 7, o número original 59325 é divisível por 7.

Mostrar que o número de Mersenne é divisível por 167.

Mostrar que o número de Mersenne M32=2^82-1 é divisível por 167.
Solução:
2^2=4, 2^4=16, s^8=256=89(mod 167), 2^16=7921=72(mod 167), 2~^32=5184=7(MOD 167),
2^64=49(Mod 167), LOGO, 2^82=2^64.2^3=49.72.8=168=1(Mod 167) portanto, 167|M82, isto é, M82 é divisível por 167[M82=2^82 -1.

Mostrar que o número de Fermat é divisível por 641

Mostrar que o número de Fermat F5=2^(2^5)+1 é divisível por 641.
2^2=4, 2^4=16, 2^8=256, s^16=65536=154(MOD 641)
2^32=154^2=23716=640(MOD 641), LOGO 2^32+1=641=0(MOD 641), ISTO É 2^(2^3)+1 É DIVISÍVEL POR 641--> 641|(F5).

La flor más grande del mundo- Saramago y Emilio Aragón