Atividades Técnicas de Complexidade Intelectual Matemática

Questão.27. Um torneio vai ser disputado por quatro tenhistas A, B, C e D. Inicialmente, um sorteio dividirá os tenistas em dois pares, que se enfrentarão na primeira rodada do torneio. A probabilidade de que A e B se enfrentem na primeira rodada é:
Solução:
{(A, B); ( A, C); ( A, D)}

P(A,B)= 1:3

Resposta: B(x)1/3

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Questão.24. Os vetores u e v do R^n são tais que ||u||=2e u.v=12. Para que o vetor (alfa)u+v seja ortogonal a u, deve-se ter (alfa) igual a:
Solução:
Sabemos que ||u||=2, logo u=2.
pela questão u.v=12 portanto v=6.
pela ortogonalidade (alfa).u+v=0
Se (alfa).2 + 6 = 0, então (alfa)= -3.
Resposta. B(x) -3

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Questão.23. Um fabricante de sabão em pó deseja usar embalagens em forma de bloco retangular com o menor gasto possível de material, de modo que:
-uma das dimensões da base seja triplo da outra,
-o volume seja de 2304 cm^3.
Nessas condições, a altura da caixa de sabão em pó, em cm, deve medir:
Solução: Sejam as dimensões da base: uma dela x e a outra 3x ,
A altura seja y.Então o volume seja da condição do problema: V=3x.x.y=2304 cm^3.
V=3x^2.y=2304 -> y=(2304):3x^2 --> y=768:x^2.
A área total da embalagem de sabão em pó: Área total=2xy+6x^2+6xy=6x^2+8xy
Substituindo o valor de y=768:x^2 na área total, temos: A=6x^2 + 8x(768:x^2)=6x^2 + 6144:x
Derivando temos, A*=(12x^3-6144):x^2
fazendo A*=0
x=8 cm
y=(768):x^2= 12 cm.
Resposta.B(x) 12 cm (x).

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Conhecimentos específicos
Questão. 18. Com os conteúdos de Geometria trabalhados até o Ensino Médio não é possível calcular áreas de regiões limitadas por curvas quaisquer. Para calcular áreas desse tipo é preciso utilizar a noção de integral definida, estudada nas disciplinas de cálculo. Um exemplo é o cálculo da área do plano limitada pelos gráficos definidos por y=x^2e x=y^2. Qual é o valor dessa área?
Solução:
Para maior facilidade temos: x^2=x^1:2, elevando ao quadrado temos x^4 = x, resolvendo a equação temos como resultado x=0 e x=1. Então a área limitada é de 0 a 1.
A inegral de x^2= x^3:3, substituindo por 0 e 1, temos A=1:3
A integral de x^1:2=( 2:3 ). x^3:2, substituindo o x por 0 e 1 temos, A=2:3
A diferença de área é: A=(2:3) - (1:3) = 1:3
Resposta. E(x) 1:3 ( um terço).

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Conhecimentos específicos
Questão.20. O valor do limite de (36x^2+24x):5x^2+2x) quando x tende para zero é:
Solução:
Colocando em evidência a variável x no numerador e no denominador vamos encontrar:
x(36x+24): x(5x+ 2), simplificação de fração teremos (36x+24):(5x+2). Aplicando o limite temos24:2= 12, quando x tende a zero.
Resposta. O valor do limite é 12. E(x) 12.

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Conhecimentos específicos
Questão. 17. As figura abaixo representa o gráfico da derivada de uma função f no intervalo [1, 5].
O menor e o maior valor de f no intervalo [1, 5] são, respectivamente:
Solução:
[1, 2] função decrescente Y=-x-->F(1)=-1; F(2)=-2.
[2, 5] função qudrática: Y= (x^2):2 -3X.-->F(2)=-4; F(3)= -4,5; F(4)=-4 e F(5)= -2,5.

Resposta. O menor f(3) e o maior f(1), logo (C)f(3) e f(1).

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Conhecimentos específicos
Questão 16. Observe o gráfico da função f(x), definida em R.
Sobre a função f(x), conclui-se que:
Solução:
(A) f(x) não possui assíntotas verticais em x+2 e x=-2, porque o limite da f(x), quando x tende ao (+ ou -)infinito é mais infinito ou menos infinito.(F)
(B) f(x) possui derivada em x=0, a função derivada de f(x) é uma função quadrática.(F)
(C) f(x) tem imagem real para todo x real.(F)
(D) f'(x) e não negativo para todo x real, porque f'(x) é uma função quadrática.(V)
(E) f''(x) tem imagem real para todo x real.(F)
Resposta. (D) (x)